استاد آموزش ریاضی معلم خصوصی ریاضی در شیراز

تدریس خصوصی ریاضی - استادبانک

 

تدریس خصوصی ریاضی و انتخاب بهترین معلم خصوصی ریاضی در استادبانک، سامانه انتخاب آنلاین معلم خصوصی. استادبانک مرجع تخصصی آموزش کشور.

تدریس خصوصی ریاضی معلم های مستقل حضوری و آنلاین در هر ... - استادسلام

 

 

استادسلام | ارتباط مستقیم با معلم تدریس خصوصی ریاضی به تعداد 4419 معلم از هر کجای ایران، هم حضوری و هم آنلاین.

قیمت تدریس خصوصی ریاضی در سال 97 و 98 چقدر است؟ - قیمت تدریس .. کلاس خصوصی کنکور ریاضی .

 

 قیمت تدریس خصوصی ریاضی

 

در این بخش در رابطه با قیمت کلاسهای تدریس خصوصی ریاضی در سال 97 و 98 مطالبی ارائه شده است. برای مشاهده لیست کامل مدرسین ریاضی و قیمت های تعیین شده ...

 

‫آموزش خصوصی ریاضی‬‎

تدریس خصوصی ریاضی در اصفهان

 

تدریس خصوصی ریاضی زعفرانیه

 

 (1) · مدرسه

 

 استاد سلام

 

 موسسه آموزشی

 

 

تدریس خصوصی ریاضی

آموزش و تدریس خصوصی ریاضی دوره اول و دوم متوسطه

آموزش و تدریس ریاضی به صورت خصوصی و گروهی ویژه دانش آموزان مقطع اول و دوم متوسطه نظام جدید (مقطع راهنمایی  و دبیرستان نظام قدیم).

برگزاری کلاس رفع اشکال، کلاس تقویتی، کلاس خصوصی ویژه استعدادهای درخشان، کلاس های آمادگی ویژه کنکوری های سال ۹۹ ، مرور مفاهیم و سر فصل های اصلی، کلاس تقویتی ویژه المپیاد ریاضی، حل تمرین کلیه دروس ریاضی در پایه های مختلف متوسطه اول و دوم

تدریس خصوصی ریاضی | ایران مدرس

 

 

تدریس خصوصی ریاضی توسط معلم، استاد و دبیر خانم و آقا در تهران و کرج و کل کشور- ارتباط مستقیم و بدون واسطه با مدرسین تدریس خصوصی ریاضی و مشاهده شماره ...

هزینه واقعی یک کلاس خصوصی ریاضی چقدر است؟ - مجله فرادرس

بررسی و حل نمونه سوالات کنکور سالهای گذشته

آموزش روش های تست زنی، کلاس رفع اشکال ویژه کنکوری های سال۹۹، تجزیه و تحلیل و حل نمونه سوالات کنکور دانشگاه های سراسری و آزاد رشته های ریاضی فیزیک، علوم تجربی، علوم انسانی- بررسی و حل نمونه سوالات کنکو رشته های تجربی، ریاضی، انسانی و فنی در سال های مختلف به همراه پاسخنامه تشریحی

 

 سوالی که همیشه دانشجویان با آن روبرو هستند این است که هزینه واقعی یک کلاس خصوصی ریاضی چقدر است. بخش بزرگی از دانشجویان در طی تحصیل ...

خدمات تدریس خصوصی در شیپور

 

هزاران آگهی خدمات تدریس خصوصی با قیمت های مناسب. ... تدریس خصوصی ریاضی و فیزیک متوسطه اول و دوم ... تدریس خصوصی دروس ریاضی و فیزیک ویژه دختران.

تدریس ریاضی پایه اول تا ششم ابتدایی

آموزش و تدریس ریاضی در مقطع دبستان با استفاده از روش های (سخنرانی- نمایشی- یادگیری اکتشافی- پرسش و پاسخ- سمعی و بصری) در کلاس توسط معلمانی دانا، با مهارت، مهربان

تدریس ریاضیات دانشگاهی

برای یادگیری بهتر ریاضیات دانشگاهی، در ابتدا باید تلاش کرد که اشکالات ریاضی (به صورت مبحثی یا کلی) در دوره های متوسطه را برطرف کرد. به هر حال درس ریاضی مباحث به هم مرتبطی دارد و اگر پایه ریاضی شما از ابتدای کار قوی نباشد در یادگیری مباحث جدید با اشکال روبه رو خواهید داشت.

در ادامه مطلب به طور خلاصه هر یک از روش های گفته شده شرح می دهیم.

روش سخنرانی در تدریس

ارائه مفاهیم ریاضی به صورت شفاهی از طرف معلم و یادگیری دانش آموزان از طریق گوش دادن و یا یاداشت برداشتن اساس کاراین روش را تشکیل می دهد. از خصوصیات این روش فعال و متکلم الوحده بودن معلم و غیر فعال بودن دانش آموز است. در این روش مبحث درسی بیان و جمع بندی و نتیجه گیری می شود.

تدریس خصوصی ریاضی و فیزیک و زبان انگلیسی | معلم خصوصی ...

 

تدریس خصوصی ریاضی از دبیرستان تا دکترا. ... تدریس خصوصی توسط بهترین اساتید شامل : ✓دبیران مجرب و رسمی مدارس برتر و تیزهوشان. ✓دانشجویان و فارغ ...

آگهی‌ها و نیازمندی‌های آموزش - آموزش درسی - تدریس خصوصی (ریاضی) - آفتاب

 

 

هر روز هزاران مورد آگهی آموزش، آموزش درسی، تدریس خصوصی ریاضی در نیازمندی های آفتاب ثبت می شود برای مشاهده به روزترین آگهی ها و نیازمندی های آموزش، آموزش درسی، ...

تدریس خصوصی ریاضی

 تدریس-خصوصی-ریاضی

 

تدریس خصوصی ریاضی برای کلیه مقاطع از پایه ابتدایی تا پایان دوره متوسطه با روش های کاملا مفهومی و با در نظر گرفتن آخرین تغییرات در کتاب های درسی تحت نظر ...

تدریس خصوصی در تهران | سایت مدرسانه | تدریس ریاضی و فیزیک

آموزش روش های تست زنی و رفع اشکال

آموزش روش های تست زنی، کلاس رفع اشکال ویژه کنکوری های سال ۹۹ دانشگاه های سراسری و آزاد رشته های ریاضی فیزیک، علوم تجربی، علوم انسانی

 

برنامه ریزی و مشاوره تحصیلی ویژه کنکوری ها

موفقیت در کنکور سراسری و دستیابی به اهداف بلند مدت برای آینده ای بهتر نیازمند دانستن و داشتن مواردی مثل منابع کنکور سراسری، استفاده از کتاب های کمک آموزشی و آزمون های آزمایشی خوب برای رشته ریاضی، تجربی، انسانی، هنر و زبان در کنکور سراسری، مشاوره برنامه ریزی درسی و تست زنی در کنکور سراسری، نحوه صحیح مطالعه دروس برای موفقیت در کنکور سراسری، استفاده از نعطیلات نوروز یا عید برای مطالعه دروس عقب افتاده، جمع بندی کنکور سراسری و در نهایت مدیریت و کنترل زمان در کنکور سراسری هستیم.

هیچ گاه نمی توان برای همه یک نسخه را پیچید و همه ما می دانیم که برنامه ریزی برای هر شخص به صورت مجزا و با توجه به توانایی ها و زمانی که برای مطالعه در طی روز اختصاص میدهد فرق دارد اما یکسری نکات در رابطه با برنامه ریزی صحیح اصولی وجود دارد که رعایت این اصول باعث دسترسی راحت تر به موفقیت خواهد شد.

 

 

مدرس خصوصی ابتدایی , متوسطه, کنکور و دانشگاه,هفتم, هشتم, نهم, دهم, یازدهم, قیمت تدریس خصوصی, موسسه رزرو آنلاین دبیر, معلم, استاد آقا خانم, کلاس خصوصی ریاضی ...

 آموزش خصوصی ریاضی

نحوه تدریس خصوصی ریاضی

 

تدریس خصوصی ریاضی نهم

 

تدریس خصوصی ریاضی در مشهد

 

تدریس خصوصی ریاضی ششم

 

تدریس خصوصی فیزیک

بهترین روش آموزش و تدریس ریاضی

از آنجایی که ریاضی یکی از مهم ترین دروس دوران مدرسه و هم‌چنین درس مشترک بین تمامی رشته های دوره‌ی متوسطه دوم و نیز یکی از دروس پایه برای بسیاری از رشته‌های دانشگاهی است بهتر است در شیوه‌ی آموزش ریاضی بهترین مسیر‌ها را انتخاب نمود.

در این درس مباحث بسیار گسترده است و طبیعتا تسلط بر تمامی مباحث (در سطح دانشگاهی) سخت و در صورت امکان، بازده بهتری نسبت به تخصص در هر گرایش نخواهد داشت. اما، (درسطح متوسطه و دبستان) یک معلم موفق باید بر تمامی مباحث برای تدریس ریاضی مسلط باشد.

 

تدریس خصوصی ریاضی در کرج

 

قیمت تدریس خصوصی ریاضی در منزل

 

 

 

 

تدریس خصوصی ریاضی و قیمت معلم خصوصی ریاضی با بهترین معلم ها در موسسه تدریس خصوصی آقا اجازه، با بیش از 2800 استاد در ، مقایسه و انتخاب معلم خصوصی ..

هم چنین به مهارت هــا و توانایی هــای عملــی معلم در فرایند یادگیــری مانند “مهارت در تهیه ی طرح، اجرای روش های نوین تدریس، طراحی آموزشی و ارزش یابی” به عنوان مؤلفه هــای مهارت های حرفــه ای معلمان می توان تأکید کرد.

تدریس خصوصی ریاضی و معلم خصوصی ریاضی - آقا اجازه

آموزش کلید توسعه‌ی کلاس کنکور  و مسیری است که افراد برای تحقق توانایی‌ها و افزایش کنترل بر تصمیم‌های اثر گذار خود باید فرا گیرند. چهار ستون یادگیری، یعنی یادگیری برای دانستن، یادگیری برای انجام دادن، یادگیری برای با هم زیستن و یادگیری برای شدن همواره مورد تأکید جوامع بین المللی است.

قیمت تدریس خصوصی ریاضی سال 98 | مدرسانه تهران

 

 قیمت-تدریس-خصوصی-ریاضی

 

هزینه تدریس خصوصی ریاضی در تهران. قیمت های تدریس خصوصی ریاضی موسسه ریاضیات ویژن و مدرسانه بسته به پایه تحصیل و درجه بندی دبیران متفاوت می باشد.

آموزش و تدریس ریاضی – فدیکا

 

 آموزش تدریس خصوصی ریاضی

 

آموزش و تدریس ریاضی ۱۰۰% تضمینی، بصورت کلاس های خصوصی و گروهی از پایه تا کارشناسی ، توسط برترین اساتید دانشگاه و معلمان برگزیده. وبسایت فدیکا ...

بهترین اساتید تدریس خصوصی ریاضی را بشناسید | شهریه مصوب ...

 

 تدریس-خصوصی-ریاضی

 

تدریس خصوصی ریاضی توسط بهترین اساتید تهران و دبیران رسمی آموزش و پرورش ، معرفی بهترین اساتید تدریس خصوصی ریاضی در منطقه شما ، بهترین منابع کمک ...

تدریس خصوصی مشاوره تحصیلی و کنکور | تدریس خصوصی ریاضی ...

 

تدریس خصوصی کلیه دروس ابتدایی تا دانشگاهی توسط دبیران رسمی آموزش و پرورش و اساتید دانشگاهی با سابقه تدریس بالا و تسلط کامل، شهریه ...

بهترین اساتید تدریس خصوصی ریاضی دهم | آکادمی نیم خط

 

 

 

دلایل زیادی وجود دارد که شما احساس میکنید به تدریس خصوصی ریاضی دهم احتیاج دارید؛ اعتماد به نفس پایین و اضطراب در زمان امتحانات و آزمون های پیشرفت تحصیلی ...

تدریس خصوصی ریاضی - آپارات

وبسایت فدیکا مرکزی جامع جهت معرفی اساتید و معلمان ریاضی می باشد. ما با ایجاد بستری امن و مناسب در کلاس های تقویتی ریاضی فضای را فراهم میکنیم تا دانش آموزان و دانشجویان بتوانند از طریق پرسش و پاسخ، نقاط کور و مبهم در حل مسئله را شناسایی کنند.

 

بهترین اساتید و معلم های تدریس خصوصی ریاضی در تهران و کل ایران · ایران مدرس. 178 بازدید ۲ هفته پیش. 2:07 · قیمت مناسب کلاس های تدریس خصوصی ریاضی در سال ...

نیاز به تدریس خصوصی ریاضی توسط معلم خصوصی خبره دارید؟

 

 

تدریس خصوصی ریاضی

 

کارشناس ارشد ریاضی و دانشجوی مقطع دکتری
دانش آموخته ممتاز دانشگاه دولتی تبریز در سال ۱۳۹۴
بیش از ۱۰ سال سابقه تدریس در دانشگاه و آموزشگاه

مزایای تدریس خصوصی ریاضی در مقایسه با مدرسه; معلم خصوصی ریاضی چه کمکی به کسب رتبه بهتر در کنکور می کند؟ نقش معلم خصوصی ریاضی در یادگیری دانش ...

تدریس ریاضی در کلیه مقاطع تحصیلی از پایه تا دانشگاه

ریاضی یک درس زنده است و این پویایی درس ریاضی را ما گاها با روش‌های اشتباه تدریس از بین می‌بریم و باعث نفرت دانش‌آموزان از درس ریاضی می شویم.

اگر دانش آموز مطمئن شود که درس ریاضی می تواند در زندگی و کاربرد داشته باشد مطمئناً به آن علاقه مند می شود زیرا ریاضی زندگی او را آسان خواهد کرد.

حتی دانش آموزان تیزهوش نیز برای درک بهتر سوالات پیچیده و چند مرحله ای در ابتدا باید مفهوم آن مبحث درسی را فهمیده باشند.

تدریس خصوصی ریاضی انتخاب و درخواست استاد و معلم خصوصی آموزش آنلاین ریاضی.

 

دبیر خصوصی ریاضی | دبیر ریاضی | معلم خصوصی | معلم ... - سامان سلامیان

› دبیر خصوصی ریاضی

 

دبیر خصوصی ریاضی. ریاضی از آنجایی که یکی از دورس مهم و البته سرنوشت ساز در کنکور است نیاز است تا با توجه و البته دقت بیشتری خوانده شود و عملا برای آن ...

برگزاری کلاس های تخصصی ویژه کنکوری های سال ۹۹
آموزش روش های تست زنی در تمام دروس ریاضی
حل نمونه سوالات کنکور ریاضی فیزیک،تجربی،انسانی

 بررسی سوالات و پاسخنامه کنکورهای آزمایشی قلم چی

آموزش و تدریس ریاضی در شیراز

آموزش و تدریس ریاضی به صورت کامل و ۱۰۰% تضمینی در کلاسهای خصوصی و گروهی از مقطع پایه تا کارشناسی توسط استادان برتر دانشگاه و معلمان برگزیده

وبسایت فدیکا مرکزی جامع جهت معرفی استادان و معلمان ریاضی می باشد. ما با ایجاد بستری امن و بدور از قضاوت فضای را در جلسات خصوصی و یا کلاس ایجاد می کنیم تا دانش آموزان ودانشجویان بتوانند از طریق پرسش و پاسخ، نقاط کور و مبهم در حل مسئله را شناسایی کنند.

جهت مشاهده وبسایت ما و لیست اسامی اساتید در شیراز اینجا کلیک کنید.

توسط استاد دانشگاه با بیش از ۱۰ سال سابقه تدریس
مدرس:سرکار خانم فرزامی _کارشناس ارشد ریاضی

#ریاضیات دانشگاهی: معادلات دیفرانسیل _ ریاضی عمومی ۱و۲ _ آمار و احتمالات _ ریاضی مهندسی

#ریاضیات متوسطه دوم: (دهم _ یازدهم _ دوازدهم)
#ریاضیات متوسطه اول:(هفتم _ هشتم _ نهم)
#ریاضیات پایه

#رشته تجربی: ریاضی۱_ ریاضی۲ _ ریاضی۳

#رشته ریاضی فیزیک: ریاضی۱ و هندسه۱ _ حسابان۱ و هندسه۲ _حسابان۲ و هندسه۳ _ ریاضیات گسسته

#رشته ادبیات و علوم انسانی، علوم و معارف اسلامی: ریاضی و آمار۱ _ ریاضی و آمار۲ _ ریاضی و آمار۳

ویژه کنکوری ها: مشاوره _ برنامه ریزی _ آموزش تست زنی _ رفع اشکال
برای افراد کم بضاعت بیشترین تخفیف ممکن در نظرگرفته خواهد شد

تدریس ریاضی پایه دبستان و ابتدایی در شیراز

آموزش کامل و تدریس ریاضی دوره اول متوسطه

آموزش کامل و تدریس ریاضی دوره دوم متوسطه

تدریس خصوصی و گروهی ریاضی ویژه کنکور و تست زنی

کنکور سراسری – ریاضی فیزیک
کنکور سراسری – علوم تجربی
کنکور سراسری – علوم انسانی

حل تمرینات ریاضی پایه هفتم

حل تمرینات ریاضی پایه هشتم

حل تمرینات ریاضی پایه نهم

حل تمرینات ریاضی دهم تجربی و ریاضی

حل تمرینات ریاضی و آمار ۱ دهم انسانی

حل تمرینات هندسه ۱ دهم ریاضی

حل تمرینات ریاضی دهم فنی

حل تمرینات ریاضی و آمار۲ یازدهم انسانی

حل تمرینات ریاضی یازدهم تجربی

حل تمرینات هندسه ۲ یازدهم انسانی

حل تمرینات حسابان ۱ یازدهم ریاضی

حل تمرینات آمار و احتمال یازدهم ریاضی

حل تمرینات ریاضی یازدهم فنی

حل تمرینات ریاضی و آمار۳ یازدهم انسانی

حل تمرینات ریاضی۳ دوازدهم تجربی

حل تمرینات هندسه۳ دوازدهم ریاضی

حل تمرینات حسابان ۲ دوازدهم ریاضی

حل تمرینات ریاضیات گسسته دوازدهم ریاضی

تحقیق در عملیات چیست؟

تحقیق در عملیات: هدف و تاریخچه آن ( inform )

  واژه تحقیق در عملیات از لحاظ لغوی در بسیاری از واژه‌ نامه‌ها به تجزیه و تحلیل ریاضی و علمی یک فرایند یا عملیات به منظور تصمیم‌گیری تعبیر گردیده است. به گمان برخی این مبحث توسط چارلز باپیگ (1871-1791) ابداع گردید زیرا که پژوهش‌های وی در خصوص هزینه حمل و نقل و مرتب‌سازی بسته‌های پستی در سال 1840 و همچنین بررسی رفتار تجهیزات حمل و نقل ریلی در ابعاد وسیع بوده است.

  شاخه توسعه یافته و یا همان تحقیق در عملیات که در کتاب‌های کنونی می‌توان جستجو نمود در طی جنگ جهانی دوم ظاهر گردید. عمده کسانی که در طی این دوره این شیوه را توسعه دادند پاتریک بلاکت، سیسیل گردون، وادینگتون، اون وانسبرگ، جونز و فرانک یاتس از کشور انگلیس و جورج دانتریگ از کشور آمریکا بودند. تلاش این عده در جهت تصمیم‌گیری بهتر در زمینه‌های نظیر پشتیبانی و زمانبندی آموزشی بود. پس از جنگ این شیوه در زمینه‌های مشابه بویؤه در صنعت بکار گرفته شد.

 

  تحقیق در عملیات ( OR ) چیست؟ ( informs )

  به طور خلاصه، تحقیق در عملیات ( OR ) دانشی است به منظور بکار بستن روش‌های تحلیلی توسعه یافته برای کمک به تصمیم‌گیری بهتر. تحقیق در عملیات با استفاده از روش‌هایی نظیر، مدلسازی ریاضی به منظور تحلیل شرایط پیچیده، به مدیران اجرایی توانایی اتخاذ تصمیم‌های مناسب‌تر و ایجاد سیستم کارا و ثمر بخش در موارد زیر را می‌دهد:

  مجموعه داده‌های پیچیده.

  در نظر گرفتن تمامی محدودیت‌ها و شرایط موجود.

  پیش‌بینی دقیق نتایج و ارزیابی ریسک.

  بکارگیری پیشرفته‌ترین روش‌ها و ابزارهای تصمیم‌گیری.

 

  OR یک رویکرد منحصر بفرد برای اتخاذ تصمیم

  شاید شما ده‌ها مقاله و مطالب مرتبط با راه‌حل‌هایی که مدعی هستند که تصمیم‌گیری را برای شما آسان‌تر می‌سازد دیده‌اید. OR یک رویکرد منحصر بفرد است که روش‌های توسعه یافته و در عین حال پیچیده را به کمک اشخاص آموزش دیده می‌تواند پیاده‌سازی نماید. توانایی OR به ویژه در استفاده از ابزارهای توسعه یافته و روش‌هایی است که می‌تواند توانایی ارزیابی و تحلیلی که نرم‌افزارهای رایج از جمله صفحه گسترده‎ها از آن عاجزند را قوت ببخشد. به عبارت دیگر یک کارشناس تحقیق در عملیات توانایی تعریف چالش‌های عمده که شما در زمینه‌های کاری خود با آن روبرو هستید را داشته و روش‌هایی برای شفاف سازی و بکار بستن داده‌های مورد نیازتان را فراهم می‌سازد. به منظور رسیدن به این نتایج، کارشناسان OR طرح‌های خود را در راستای آخرین تکنولوژی تحلیل و ارزیابی به منظور پیدا نمودن ارتباطات ارزشمند و چشم‌اندازهای مناسب و اتخاذ پیش‌بینی‌های موثر ترسیم می‌کنند، یعنی:

  شبیه سازی که به شما توانایی آزمون رویکردها و ایده‌هایتان را به منظور بهبود هرچه بیشتر فراهم می‌سازد.

  بهینه سازی کاستن گزینه‌های تصمیم‌گیری به تعدادی محدود اما بهینه در شرایطی که گزینه‌های شدنی نامحدود و مقایسه آنها نیز کاری دشوار است.

  آمار و احتمالات

  سایر مواردی نظیر پایش ریسک و بررسی داده‌ها

 

تحقیق درعملیات یا پژوهش عملیاتی، یکی از زیرشاخه‌های ریاضیات کاربردی است، که جنبه‌های کاربردی آن در مهندسی صنایع مورد توجه قرار می‌گیرد. تحقیق درعملیات تکنیکی به منظور بکار بستن روش‌های تحلیلی توسعه یافته، برای کمک به تصمیم‌گیری بهتراست. تحقیق در عملیات با استفاده از روش‌هایی نظیر، مدل‌سازی ریاضی، به منظور تحلیل شرایط پیچیده، همواره به مدیران اجرایی توانایی اتخاذ تصمیم‌های مناسب‌تر و ایجاد سیستم کارا، بهینه و ثمر بخش را خواهد داد.

تحقیق در عملیات شاخه‌ای از ریاضیات است که برای یافتن نقطه بهینه در مسائل بهینه‌سازی، از گرایش‌هایی مانند برنامه‌ریزی ریاضی، آمار و طراحی الگوریتم‌ها استفاده می‌کند. یافتن نقطه بهینه براساس نوع مسئله مفاهیم مختلف دارد و در تصمیم‌سازی‌ها استفاده می‌شود. مسائل تحقیق در عملیات بر بیشینه‌سازی (مانند سود بیشتر، سرعت خط تولید بالاتر یا پهنای باند بیشتر) یا کمینه‌سازی (مانند هزینه کمتر یا کاهش ریسک) با استفاده از یک یا چند قید، تمرکز دارند. ایده‌ی اصلی تحقیق در عملیات یافتن بهترین پاسخ برای مسائل پیچیده‌ای است که با زبان ریاضی مدل‌سازی شده‌اند و باعث بهبود یا بهینه‌سازی عملکرد یک سامانه می‌شوند.

تحقیق در عملیات معمولاً در قالب عناوینی چون علم مدیریت، روش‌های مقداری، تحلیل مقداری و علم تصمیم‌گیری نیز بیان می‌گردد. عبارت تحقیق در عملیات معمولاً به صورت مخفف OR نوشته می‌شود. تحقیق در عملیات یک رویکرد علمی است که در صدد حل مسائل مدیریتی است و هدف آن کمک به مدیران، جهت تصمیم‌گیری بهتر است. تحقیق در عملیات بر مجموعه‌ای از فنون ریاضی تأکید دارد که یا در حوزه علم مدیریت توسعه یافته‌اند یا از سایر رشته‌های علوم همانند ریاضی، طبیعی، آمار و مهندسی اقتباس شده‌اند. تحقیق در عملیات یکی از زیرشاخه‌های ریاضیات کاربردی است و جنبه‌های کاربردی آن در مهندسی صنایع نیز مورد توجه قرار می‌گیرد. ریاضیات کاربردی به متخصصان امکان می‌دهد تا جنبه‌های نظری تحقیق در عملیات را بررسی کرده و آن را گسترش دهند و توانایی ایجاد و توسعه تحقیق در عملیات را فراهم کنند. باید به خاطر داشت که تحقیق در عملیات چیزی بیش از مجموعه‌ای از فنون ریاضی است. این علم نیز همانند سایر علوم با مسائل و مشکلات به طریق منطقی برخورد می‌کند. نگاه OR به مسائل مدیریتی یک نگاه سیستماتیک و منطقی است.

  OR در حال حاضر پیرامون شما است

  OR سازمان‌ها و کارشناسان اطراف ما را مترقی کرده است. یعنی از زمانبندی بهتر کارکنان هواپیمایی گرفته تا طراحی بهتر خطوط انتظار در پارک‌های تفریحی و از برنامه‌ریزی تولید گرفته تا بهینه‌سازی صدها مرکز توزیع محلی و غیره. به عبارت دیگر با اطمینان می‌توان گفت که از بکار بستن OR منافع بسیاری حاصل می‌شود.

 

  OR چه کاری می تواند برای ما انجام دهد

  OR به صورت پیوسته می‌تواند ارزش‌های مهم را از استراتژیک گرفته تا تاکتیکی از ابتدا تا به انتهای سازمان منتقل سازد. یعنی سازمان‌های تجاری جهانی، نهادهای نظامی، مراکز درمانی و مراکز دولتی همگی فواید عمده‌ای را از OR دریافت می‌نمایند.

  به عنوان مثال مواردی نظیر:

  چشم‌اندازهای تجاری: دخالت دادن چشم‌اندازهای تجاری و کمی در مسائل پیچیده.

  عملکرد تجاری: بهبود عملکرد تجاری با بهره جستن از هوش مدل محور، در ارتباط با مجموعه‌ای از داده‌ها به منظور تصمیم‌گیری بهتر.

  کاهش هزینه: جستجوی فرصت‌های جدید به منظور کاهش هزینه یا سرمایه‌گذاری.

  تصمیم‌گیری: ارزیابی محتمل‌ترن نتایج از گزینه‌های تصمیم‌گیری و روشن نمودن گزینه‌های بهتر.

  پیش‌بینی: فراهم سازی یک بستر مناسب برای پیش‌بینی و برنامه‌ریزی دقیق تر.

  زمانبندی بهبود یافته: زمانبندی کاراتر تجهیزات و کارمندان.

  برنامه‌ریزی: بکار گرفتن روش‌های کمی به منظور پشتیبانی از عملیات‌ها و همچنین برنامه‌ریزی تاکتیکی و استراتژیک.

  قیمت گذاری: قیمت گذاری پویای محصولات و خدمات.

  بهره‌وری: کمک به سازمان‌ها برای جستجوی راه‌های بهره‌ورتر نمودن نیروی انسانی و فرایندها.

  فواید: افزایش عایدی یا بازگشت بر سرمایه، افزایش سهام بازار.

  کیفیت: بهبود کیفیت همراه با کمی نمودن و موازنه کیفی.

  بهبود: بهره جستن از کنترل بهتر و سود حاشیه‌ای بهتر.

  منابع: بهره جستن بیشتر از تجهیزات، تسهیلات، پول و اشخاص.

  ریسک: پایش کمی ریسک و شفاف‌سازی عوامل بحرانی در مدیریت و کاهش ریسک.

  نرخ بارگذاری: افزایش سرعت بارگذاری و کاهش تأخیر.

 

  OR پاسخگوی چالش‌هایی که امروز با آن روبرو هستید

  سازمان‌ها و دنیایی که ما در آن مشغول به فعالیت هستیم روز به روز در حال پیچیده‌تر شدن است. انبوهی از انتخاب‌ها و محدودیت‌های زمانی و حاشیه‌ای تصمیم‌گیری در رابطه با مسائل پیرامون را دشوارتر ساخته است. در این راستا نرم‌افزارهای کاربردی که روزانه در حال پردازش و تولید هستند حجم انبوهی از داده‌ها را بکار می‌گیرند و می‌توانند افق‌های تازه‌هایی را در اتخاذ تصمیم‌های مناسب‌تر ترسیم نمایندو با این توضیح موضوع OR می‌تواند در زمینه‌های چالش برانگیز که تعداد زیادی متغیر و سیستم که ریسک‌های متعددی را به همراه دارد بصورت مناسبی بکار گرفته شود. به طور خلاصه، OR می‌تواند به یاری بسیاری از مدیران اجرایی که با چالش‌های عمده‌ای روبرو هستند بیاید یعنی:

  · سرمایه‌گذاری در کدام بخش‌ها تا سود دریافتی افزایش یابد.

  · بهره‌گیری بیشتر از ERP و CRM و دیگر سیستم‌ها‌ی نرم‌افزاری.

  · مدیریت با بهترین شیوه در یک مرکز تلفن.

  · مکان‌یابی یک انبار با در نظر گرفتن حاصلضرب هزینه و مسافت.

  · پیش‌بینی فروش نوع جدیدی از محصولات که پیش از این به بازار نیامده است.

  · حل مسائل زمانبندی پیچیده.

  · برنامه ریزی برای یک حمله بالقوه تروریستی.

  · تصمیم‌گیری در ارتباط با اینکه چه وقت و به چه میزان تخفیف دهیم.

  · بدست آوردن سیکل‌های تولید بیشتر از تجهیزات ساخت.

  · سرمایه گذاری بهینه بهینه در شرایطی که امنیت مالی و یا موجودی دارویی و بهداشتی مد نظر است.

  · تصمیم گیری مبنی بر این‌که به چه میزان بودجه صرف فروش متعارف و یا اینترنتی شود.

  · کاشت محصولات در شرایطی که هوا و میزان تقاضا نامعین است.

  · سرعت بخشیدن به زمان پاسخگویی، در رابطه با پلیس 110 و آتش‌نشانی.

 

  با توضیحات فوق بهره جستن از OR برای بقا در شرایط حاضر یک ضرورت است یه عبارت دیگر برای تعالی و رشد سازمان‌ها و کارخانجات می‌بایست آنرا در مقیاس وسیع بکار بست در غیر این‌صورت افق مناسبی پیش رو نخواهیم داشت.

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیک خطی

سیستم‌های خطی سیستم‌هایی هستند که عملکرد آن‌ها به حالت آن‌ها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، می‌توانیم تمامی موقعیت‌های آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمان‌های مختلف بستگی ندارد.

سیستم‌هایی که در آن‌ها یک رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار می‌­شود، سیستمه‌ای خطی به شمار می­‌آیند. تکامل تدریجی سیستم‌های دینامیکی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آن‌ها نیز یک جواب برای سیستم است. هم چنین سیستم‌های خطی از این قابلیت برخوردار هستند که آن‌ها را می­‌توان با تجزیه مسئله به اجزا کوچکتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل کلی آن‌ها اقدام کرد و این از جمله مواردی است که تحلیل سیستم‌های خطی را آسان می­‌سازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و …). در نهایت می‌­توان گفت که تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستم‌ها شناخته شده است. 

سیستم‌های دینامیکی خطی، سیستم‌های دینامیکی هستند که در آن‌ها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستم‌های دینامیکی به طور کلی راه حل‌های فرم بسته ندارند اما سیستم‌های دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستم‌های خطی همچنین می‌توانند برای درک رفتار کیفی سیستم‌های دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.

سیستم‌های دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستم‌های غیرخطی به طور دقیق می‌توان حل کرد. علاوه بر این، راه حل‌های (تقریبی) هر سیستم غیرخطی می‌تواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستم‌های خطی و راه حل‌های آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستم‌های غیرخطی پیچیده است.

مفاهیم اولیه در سیستم‌های دینامیکی غیرخطی آشوب (chaos)

«آشــوب» در لغت به معنای هرج و مرج و بی­‌نظمی است. ریشه لغوی آشوب به کلمه رومی «کائــوس» (Kaous) برمی­‌گردد که مفهوم آن متعلق به شاعر روم باستان به نام «اویــد» (Owid) می­‌باشد. به نظر او کائوس، بی­‌نظمی و ماده بی­‌شکل اولیه بود که دارای فضا و بعد نامحدودی بوده، به طوری که فرض شده است که قبل از این که جهان منظم شکل بگیرد، وجود داشته است که سپس خالق هستی، جهان منظم را از آن ایجاد نمود.

از لحاظ تاریخی پس از آن که قوانین نیوتــن در مورد حرکت ارائه شد، افــراد زیادی با تکیه بر قطعیت ذاتی این قوانین آنهـ‌ـا را ماشین حساب خدا نامیدند و برای پیش‌گویی آینــده بر حسب مقادیر فعلی کافی دانستند؛ به طور کلی تصور بر این بود که اگر وضعیت فعلی را با دقت بالایی بدانیم می‌توانیم آینــده را هم با همین دقت پیش‌گویی کنیم. این باور هم‌چنان پا بر جا بود تا این که در اواخر قــرن نوزدهم، «هانــری پوانکاره» در بــررسی و تلاش بــرای حل مسئله سه جسمی متــوجه شد در بعضی موارد اگر دقــت در شــرایط اولیه بالا باشد، لزوماً در نتــایج نهــایی عدم قطعیت ناچیز نیست و با کاهش عدم قطعیت در شــرایط اولیه لزوماً عدم قطعیت کاهش نمی‌­یابد. این مسئله نمودی از رفتــار آشــوبی بود که در آن زمان شنــاخته شــده نبود. تقریبــاً اولیــن تحقیقات عددیی که به معرفی فراگیر آشوب انجامید توسط «ادوارد لورنتــس» ارائه شد.

تاکنون تعریف کلی پذیرفته شده برای آشوب ارائه نشده است و تعریف زیر از جمله تعاریف پذیرفته شده مطرح می‌­باشد:

« آشــوب، یک رفتــار طولانی مدت غیرپریــودیک در یک سیستم دترمینیســتیک است که وابستـگی حســاس به شــرایط اولیــه را نشان می‌­دهد»

• منظور از رفتار طولانی مدت غیرپریودیک در سیستم‌های دینامیکی آن است که مسیرهایی وجود دارند که وقتی زمان به بی­نهایت میل می‌­کند، مسیر این سیستم‌ها به نقاط ثابت، مدارهای پریودیک و یا مدارهای شبه پریودیک منتهی نمی‌­شوند.
• دترمینیســتیک گویای آن است که سیستم دارای پارامترها یا ورودی­‌های تصادفی(random) نیست ولی رفتار بی نظم این سیستم‌ها از غیرخطی بودن ناشی می‌­شود. این اصطلاح در مقابل stochastic به کار می‌­رود که منظور از آن نامنظم، کاتوره­ای، نامعین و غیرقابل پیش بینی بودن رفتار سیستم است.
• منظور از حساس بودن به شرایط اولیه در سیستم‌های دینامیکی این است که مسیرهای مجاور با سرعت و به طور نمایی از هم جدا می­‌شوند. در واقع این خصوصیت، تفاوت اصلی سیستم‌های دینامیکی آشوبناک با سیستم‌های دینامیکی غیر­آشوبناک است. در سیستم‌های دینامیکی غیر­آشوبناک، اختلاف کوچک اولیه در دو مسیر به عنوان خطای اندازه‌­گیری بوده و به طور خطی با زمان افزایش پیدا می‌­کند در حالی که در سیستم‌های دینامیکی آشوبناک، اختلاف بین دو مسیر با فاصله بسیار اندک همان طوری که گفته شد، به طور نمایی افزایش می‌­یابد.

محیط عمل پدیده آشـوب، سیستم‌های دینامیکی است. یک سیستم دینامیکی شامل یک فضای فــاز مجـرد یا حالت فازی است که مختصاتش، حالت دینامیکی سیستم را با بکارگیری قوانیــن دینامیکی مشخص می‌­کند. یک سیستم دینامیکی می‌تواند منظم یا آشوبناک باشد. البته سیستــم منظم، خود ممکن است تنــاوبی یا شبه ­تنــاوبی باشد. سیستم تناوبی تنها شامل یک فرکانــس و هماهنگ‌های آن است و سیستم شبه تنــاوبی شامل چنــد فرکانس و هماهنگ‌های آن می‌­باشد. در سیستم آشــوبی هیچ تنــاوب غالبی وجود ندارد یعنی این سیستــم دارای دوره تنــاوب بی­نهــایت است

جــذب کننــده­‌ها (strange attractors)

یک جذب کننده مجموعه‌­ای از تمام مسیرهایی است که به سمت یک نقطه ثابت، حلقه محدود یا … همگرا می‌شوند.  نوع دیگری از جذب کننده­‌ها وجود دارند که آن‌ها را جذب کننده­‌های عجیب(Strange attractors) می‌نامند. جذب کننده‌­های عجیب به شدت نسبت به شرایط اولیه حساس هستند و به آن‌ها «عجیب» گفته می­‌شود چون متشکل از مجموعه‌ی فراکتال هستند.

نگاشتــهای تکــرار(Iterated maps)

از آنجا که توصیف سیستم‌های دینامیکی گسسته در زمان با کمک نگاشت‌های تکرار صورت می‌­پذیرد، در این نوع سیستم‌ها رابطه ­ای به صورت (xn+1=F(xn مابین نقاطی که سیستم انتخاب می­‌کند وجود دارد که این نقاط با هم تشکیل یک مدار می­‌دهند. بر این اساس منظور از نگاشت، یک رابطه تابعی است از F : R → R که R مجموعه­‌ای است از نقاط حقیقی که به وسیله آن مدار(O(x0 از نقاط x0  (متعلق به مجموعه اعداد R) در قالب گروهی از نقاط تعریف می‌­شود: (…,(O(x0)=(x0, F2(x0), F3(x0.

معادله حالت مرتبه اول با در نظر گرفتن (xn = Fn(x0، به صورت معادله (xn+1 = F(xn  بیان می­‌گردد. می­‌توان نگاشت‌ها را براساس خطی بودن (مانند نگاشت لورنتس، نگاشت تنت (Tent) و …) یا غیرخطی بودن (نگاشت لجستیک، نگاشت هنون (Henon) و …) طبقه بندی کرد.

نقــاط ثابت (Fixed points)

نقاط ثابت در بررسی رفتار نگاشت‌ها از اهمیت خاصی برخوردار است و براساس آن می‌توان نحوه تحول سیستم را درک کرد. از دید هندسی نیز به این طریق می‌­توان نقطه ثابت را توصیف کرد که: «نقطه ثابت نقطه‌­ای است که از تقاطع خط y = x و منحنی (y = F(x به وجود می‌­آید»

دوشــاخه­ شدگی (Bifurcation)

در سیستم‌های دینامیکی، نقاط ثابت می­‌توانند خلق یا نابود شوند  یا پایداری آنها تغییر کند یعنی تغییر ماهیت داده و از نوع جاذب به دافع ویا برعکس تبدیل شوند. شروع تغییرات در رفتار نقاط ثابت، دوشاخه شدگی گفته می­‌شود. گذار به حالت دوشاخه شدگی با تغییر کمیتی به نام پارامتر کنترل دوشاخه شدگی (Bifurcation control parameter) صورت می­‌گیرد.

• دوشاخه شدگی زینی (Saddle – Node): این نوع دوشاخه شدگی به وسیله خلق یا نابودی نقاط ثابت معلوم می­‌گردد و در نگاشت‌هایی که از یکی از ضابطه­‌های زیر تبعیت می­‌کنند رخ می‌­دهد: 
  dx/dt = r + x2 , dx/dt = r – x2
• دوشاخه شدگی گذار بحرانی (Transcritical): در این نوع دوشاخه شدگی هرگز شاهد خلق یا نابودی نقاط ثابت نبوده بلکه با تغییر پارامتر کنترل، فقط نوع پایداری آنها تغییر می­‌کند. شکل کلی سیستم‌های دینامیکی که از این نوع دوشاخه شدگی تابعیت می­‌کنند، عبارت است از: dx/dt = r x – x2
• دوشاخه شدگی چنگالی (Pitchfork): این نوع دوشاخه شدن در مسائل فیزیکی که دارای تقارن هستند، معمول می­‌باشد (برای مثال، دربسیاری از مسائل فیزیکی یک تقارن فضایی بین چپ و راست وجود دارد).

برای ارائه مطالب کلی در مورد دوشاخه شدگی می­توان گفت که: اگر با تغییر پارامتر دوشاخه شدگی، ساختار هندسی فضای فاز دستخوش تغییر شود در این صورت دوشاخه شدگی رخ داده است. پارامتر کنترل می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. تغییر رفتار سیستم‌های دینامیکی را می توان در سه گروه طبقه بندی کرد:

فضای فاز

فضای فاز با کمک مکان (x1) و سرعت (x2) رسم می­‌گردد، لذا می‌­توان گفت که مجموعه جواب‌هایی به صورت (x1(t), x2(t))، نشانگر یک نقطه در حال حرکت در روی منحنی (یعنی مسیر(Trajectory) سیستم) در این فضا خواهند بود.

باید دانست که به ازای شرایط اولیه متفاوت، فضای فاز کاملاً با مسیرها پوشانده شده لذا هر نقطه‌­ای را می‌­توان به عنوان نقطه اولیه در نظر گرفت. هدف ما این است که عکس این ساختار را طی کنیم یعنی مسیرها را رسم کرده و بدین وسیله اطلاعات مربوط به جواب‌ها را استخراج نماییم.

فضای فاز مربوط به یک سیستم n ذره‌­ای فضایی است متشکل از ۶n پایه­‌های مختصاتی که ۳n پایه آن مربوط به مکان و ۳n پایه دیگر مربوط به اندازه حرکت است، پس هر نقطه در فضای فاز دارای ۶n مختصه می­‌باشد که به تنهایی برای توصیف وضعیت سیستم کافی است. وجود ثوابت ابعاد فضای فاز را کاهش می­‌دهد. از حرکت یک نقطه در فضای فاز مسیرهای فضای فاز پدید می­‌آیند. در حالت کلی، مجموعه مسیرهای فضای فاز حجمی ۶n بعدی را در فضای فاز اشغال می­‌کنند. البته باید دانست که به دلیل یکتایی حرکت ذره کلاسیکی، مسیرها در فضای فاز یکدیگر را قطع نمی­‌کنند. در نتیجه می­‌توان گفت که فضای فاز مجموعه‌­ای از حالات ممکن یک سیستم دینامیکی است. یک حالت ویژه و مشخص در فضای فاز سیستم را به طور کامل مشخص می­‌کند و این تمام آن چیزی است که در مورد شناخت کاملی از آینده نزدیک سیستم مورد نظر، مورد نیاز می‌­باشد. به عنوان مثال، فضای فاز یک آونگ، صفحه‌­ای دو بعدی شامل موقعیت (زاویه) و سرعت است و مطابق با قوانین نیوتن تعیین این دو متغیر به طور مجزا، حرکت بعدی آونگ را در زمان‌های بعدی مشخص می­‌کند.

حال اگر یک سیستم غیرمستقل وجود داشته باشد که میــدان برداری آن (یک معادله دیفــرانسیل به عنوان یک میــدان برداری معرفی می­‌شود) به طور صریح به زمــان بستگی داشته باشد، در آن صورت طبق تعــریف فضای فــاز باید زمان را به عنوان یک مختصه فضای فــاز در نظــر گرفت زیرا برای تعیین حرکت در زمان بعدی، یک زمان ویژه باید معلوم باشد. مسیــر در فضای فاز می‌تواند به صورت یک مدار و یا یک منحنی باشد در حالی که در سیستمی که نسبت به زمان گسسته است مدار به صورت یک ســری از نقاط می‌­باشد.

سیستم‌های دینامیک غیر خطی و آشوب

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی و حتی سیستم‌های خطی گسسته، می‌توانند از خود رفتار کاملاً غیرقابل پیش‌بینی نشان دهند. چنین رفتاری، ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این حقیقت که اساساً حتمی هستند (یعنی امکان وجود حالت تصادفی در آن وجود ندارد) این رفتار غیرقابل پیش‌بینی، آشوب خوانده می‌شود.

در سیستم‌های دینامیکی غیرخطی رابطه میان سرعت و موقعیت غیرخطی می­‌باشد. در چنین سیستمی اگر دو جواب داشته باشیم مجموع آنها جواب دیگر سیستم نمی‌­باشد. سیستم دینامیکی غیرخطی را نمی توان به اجزا کوچکتر تقسیم نموده و هر یک را جداگانه حل کرد، بلکه باید کل سیستم را با هم و یکجا مطالعه و بررسی کرد (برای مثال، وقتی که قسمت‌هایی از یک سیستم تداخل می‌­کنند یا با هم کار می‌­کنند یک برهم‌کنش غیرخطی اتفاق می‌افتد و اصل برهم نهی شکست می‌­خورد). پس می‌­توان گفت که معادلات مربوط به تحول در این سیستم‌ها حل تحلیلی ندارند و یا حل تحلیلی آنها بسیار مشکل است. برای تجزیه و تحلیل چنین معادلاتی، دینامیک غیرخطی که در سه بعد منجر به آشوب می­‌گردد مورد استفاده قرار می­‌گیرد؛ از این‌رو برای تحلیل سیستم‌های غیرخطی آشنایی با یک سری مفاهیم اولیه مانند: نقاط ثابت (fixed points) و دو شاخه شدنها (bifurcations) (در یک بعد)، سیکل‌های محدود (limit cycles) (در دو بعد) و فراکتال‌ها یعنی اشکالی با ابعاد غیر صحیح (در سه بعد) لازم است. این مفاهیم در ادامه مورد بحث قرار خواهند گرفت.

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی را می­‌توان به دو طریق مورد مطالعه قرار داد:

در صورتی که تحول در سیستم نسبت به زمان به صورت پیوسته باشد از معادله دیفرانسیل استفاده می‌­شود، مانند معادله نوسانگر هماهنگ میرا یا معادله گرما؛ اما اگر سیستم به صورت گسسته با زمان تحول یابد، به عبارت دیگر در صورتی که زمان به عنوان عامل جداگانه‌­ای در نظر گرفته شود سیستم در قالب نگاشت‌های تکرار(Iterated maps) مطالعه می­‌گردد، مانند نگاشت لجستیک (Logistic map).

مطالعه سیستم‌های دینامیکی غیرخطی هم اکنون سرلوحه مطالعات در بسیاری از علوم از جمله در: فیزیک، نجوم، ریاضیات، بیولوژی، شیمی، اقتصاد، علوم کامپیوتر، هواشناسی و علوم پزشکی می‌­باشد.

نمونه‌های سیستم‌های دینامیکی

۱- نگاشت گربه آرنولد ۲- نگاشت بیکر نمونه‌ای از نگاشت خطیِ گسسته آشوب ۳- نگاشت دایره ۴- پاندول دوتایی ۵- نگاشت هنون ۶- چرخش گنگ ۷- نگاشت لجیستیک ۸- نگاشت راسلر۹- سیستم لورنتس

تعمیم چند بعدی سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکی حول یک متغیر واحدِ مستقل تعریف می‌شوند که معمولاً زمان است. سیستم‌های تعمیم یافته‌تر، حول چندین متغیرِ مستقل تعریف شده و از این‌ روی، سیستم‌های چند بعدی خوانده می‌شوند. چنین سیستم‌هایی در پردازش تصویر دیجیتال مفید هستند.

کاربرد سیستم‌های دینامیکی

بعضی مسائل و موضوعات صنعتی – اجتماعی و مدیریتی، پیچیدگی دارند و با فرضیات ساده بینشی و مدیریتی قابل حل نمی‌باشند. نظریه سیستم‌های پویا روشی برای مدل سازی و بررسی عوامل یک سیستم و در نهایت پیدا کردن راه حل مناسب است. امروزه مدل‌سازی از سیستم‌های پیچیده در بسیاری از رشته‌ها مانند هواشناسی، زمین‌شناسی، انتقال جرم و حرارت، مدارهای ماهواره‌ای، مکانیک سماوی و نجوم، دریاشناسی و مکانیک سیالات، گرانش و کیهان‌شناسی کاربرد دارد. سیستم‌های پویا بخش اساسیِ نظریه‌ی آشوب، روند خودسامانی و مفهوم مرزآشوب است.

پایگاه مقالات،آموزش و تدریس ریاضی فدیکا

 

 

 

 

وبسایت فدیکا ، مرکزی جامع جهت آموزش و تدریس ریاضی

مشاوره تحصیلی – مقالات ریاضی – فیلم های آموزشی – جزوات – پایان نامه و …

 

خدمات ما

 

 

سیستم‌های دینامیکی ریاضی

سیستمِ پویا یا سیستمِ دینامیک (dynamical system) در ریاضیات و حل مسائل صنعتی، اجتماعی و مدیریتی، به سامانه‌هایی گفته می‌شود که حالت آن‌ها با زمان تغییر می‌کند. به عبارت دیگر، در آن یک تابع نحوه وابستگی نقاطی از یک فضای هندسی را به زمان توصیف می‌کند. «پویایی سیستم» (system dynamics) را نباید با «سیستم پویا» (dynamical system) اشتباه گرفت؛ این دو لزوماً به یک مفهوم اشاره نمی‌کنند. مثالی از یک سیستم پویا (یا سیستم دینامیک)، وابستگی زمانی نقاط مختلف یک آونگ متحرک یا آب جاری در یک لوله است. برای هر زمان معین، یک سیستم دینامیک، یک «حالت» دارد که می‌توان آن را با مجموعه‌ای از اعداد حقیقی(یک بردار) که به وسیله یک نقطه در یک «فضای حالت» مناسب (یک منیفلد هندسی) نشان داده می‌شود بیان کرد. برای هر تغییر کوچک در حالت سیستم دینامیکی، یک تغییر کوچک در اعداد متناظر داریم.

پیدایش سیستم‌های دینامیکی

سیستم‌های دینامیکی شاخه‌ای گسترده از دانش ریاضی و کاربردهای آن را دربرگرفته و به عنوان یکی از زمینه‌های فعال و زنده آن مطرح است. بیشتر از سه قرن پیش نیوتن بذر این علم را کاشته‌ است و این علم با تلاش دانشمندان بسیاری رشد یافت. در حدود یک قرن پیش هنری پوانکاره، این شاخه از علم را به درختی تناور و محکم مبدل کرد. ازآنجا که جریان‌های اصلی این علم به واسطه تحلیل یک مدل خاص در یک مسئله طبیعی یا ریاضی به راه افتاده‌اند و در هر زمینه‌ای تعاریف و صورت‌ بندی قضایا با موضوع مورد بحث، متناسب است طبیعی است که اختلاف نظرها و اختلاف سلیقه‌های بسیار در تعاریف و اهداف موردنظر شاخه‌ها ایجاد شوند به گونه‌ای که ممکن است حتی ذهن شخص نا آشنا را به تشتت دچارکنند. بنابراین، منشأ مفهوم سیستم دینامیکی به مکانیک نیوتنی برمی‌گردد و پیدایش مفاهیم مربوط به سامانه‌های دینامیکی از کارهای وسیع و اساسی پوانکاره درباره‌ی مکانیک اجرام آسمانی حدود یک قرن پیش شروع شد.

سیستم‌های دینامیکی

دسته بندی مختلفی از انواع سیستم‌های دینامیکی مطرح است. یه عنوان مثال، سیستم‌‌های دینامیکی گسسته و سسیستم‌های دینامیکی پیوسته، سیستم های متناهی البعد در مقابل نامتناهی البعد، سیستم های توپولوژیک درکنار مشتق پذیر، مختلط در مقابل حقیقی؛ دسته بندی دیگری نیز موجود است که بر اساس گسسته و پیوسته بودن سه مفهوم فضا، زمان و حالت معین می شود؛ این دسته بندی در جدول زیر خلاصه شده است.

فضا	زمان	حالت	دستگاه
پیوسته	پیوسته	پیوسته	معادلات با مشتقات جزئی
پیوسته	گسسته	پیوسته	نگاشت های روی فضاهای تابعی
گسسته	پیوسته	پیوسته	دستگاه معادلات دیفرانسیل عادی
گسسته	گسسته	پیوسته	شبکه نگاشت های به هم متصل
گسسته	گسسته	گسسته	اتوماتای سلولی

سیستم‌های دینامیک خطی

سیستم‌های خطی سیستم‌هایی هستند که عملکرد آن‌ها به حالت آن‌ها بستگی نداشته باشد. یعنی تنها با دانستن نقطه ابتدایی حرکت، می‌توانیم تمامی موقعیت‌های آینده آن را بدانیم. عملکرد یک سیستم خطی دینامیکی، تنها به نقطه اولیه آن مربوط است و به حالت و موقعیت آن در زمان‌های مختلف بستگی ندارد.

سیستم‌هایی که در آن‌ها یک رابطه خطی میان سرعت و موقعیت برقرار می‌­شود، سیستمه‌ای خطی به شمار می­‌آیند. تکامل تدریجی سیستم‌های دینامیکی خطی نیز فرآیندی خطی است. اگر دو جواب برای سیستم خطی داشته باشیم مجموع آن‌ها نیز یک جواب برای سیستم است. هم چنین سیستم‌های خطی از این قابلیت برخوردار هستند که آن‌ها را می­‌توان با تجزیه مسئله به اجزا کوچکتر مورد بررسی قرار داده و سپس با جمع بندی نتایج، به تحلیل کلی آن‌ها اقدام کرد و این از جمله مواردی است که تحلیل سیستم‌های خطی را آسان می­‌سازد (مانند آنالیز فوریه، مباحث برهم نهی و …). در نهایت می‌­توان گفت که تجزیه و تحلیل معادلات مربوط به این سیستم‌ها شناخته شده است. 

سیستم‌های دینامیکی خطی، سیستم‌های دینامیکی هستند که در آن‌ها توابع ارزیابی خطی هستند. سیستم‌های دینامیکی به طور کلی راه حل‌های فرم بسته ندارند اما سیستم‌های دینامیکی خطی دارای یک مجموعه دقیق غنی از خواص ریاضی هستند. سیستم‌های خطی همچنین می‌توانند برای درک رفتار کیفی سیستم‌های دینامیکی عمومی با محاسبه نقاط تعادل سیستم و تقریب زدن آن به عنوان سیستم خطی در اطراف هر نقطه مورد استفاده قرار گیرند.

سیستم‌های دینامیکی خطی را در مقایسه با سیستم‌های غیرخطی به طور دقیق می‌توان حل کرد. علاوه بر این، راه حل‌های (تقریبی) هر سیستم غیرخطی می‌تواند با استفاده از یک سیستم خطی معادل نزدیک به نقاط ثابت آن به خوبی تقریب زده شود. از این رو درک سیستم‌های خطی و راه حل‌های آن یک گام مهم اولیه برای درک سیستم‌های غیرخطی پیچیده است.

تدریس ریاضی

تدریس ریاضی بصورت خصوص و گروهی توسط مجرب ترین اساتید- بصورت کاملا تضمینی به همراه تخفیف ویژه

فیلم آموزشی

مجموعه ای کامل از بهترین فیلم های آموزش ریاضی،توسط برترین اساتید کشور

مشاوره تحصیلی

انجام مشاوره تحصیلی در زمینه ریاضات توسط استاد دانشگاه

پایگاه مقالات

مجموعه ای کامل از مقالات – جزوات – پایان نامه و متون آموزشی ریاضی،هندسه،معادلات دیفرانسیل،جبر و احتمال و…

 مشاهده مقالات

 

 

تدریس ریاضی

بصورت خصوص و گروهی توسط استاد دانشگاه پیام نور

جهت کسب اطلاعات بیشتر با ما تماس بگیرید

 

 

1500

ساعت فیلم آموزشی

---

بیش از 1500 ساعت فیلم آموزش ریاضی در مقاطع مختلف تحصیلی از دبستان تا دانشگاه

80

عنوان مقاله

---

بیش از 80 عنوان مقاله آموزشی ریاضی،هندسه،معادلات دیفرانسیل،جبر و احتمال-توابع و…

10

سال سابقه تدریس

---

بیش از 10 سال سابقه تدریس ریاضی به صورت خصوص و گروهی از مقطع پایه تا دانشگاه

2000

ساعت مشاوره تحصیلی

---

بیش از 2000 ساعت مشاوره تحصیلی در زمینه انتخاب رشته،رفع اشکال،برنامه زمان بندی مطالعه و مهارت تست زنی در کنکور

تدریس خصوصی و گروهی ریاضیات از پایه تا کارشناسی -توابع ریاضی -منحنی

تدریس خصوصی و گروهی ریاضیات از پایه تا کارشناسی

مدرس: کارشناس ارشد ریاضی ، مدرس دانشگاه و دانشجوی دکتری ، با بیش از 10 سال سابقه تدریس
سرکار خانم فرزامی:09178063900
-----------------
*هزینه تدریس برای تمامی شاگردان با هر سطح مالی بسیار مناسب در نظر گرفته شده است.

تدریس ریاضیات پایه

تدریس ریاضیات متوسطه اول : (هفتم _ هشتم _ نهم)

تدریس ریاضیات متوسطه دوم : (دهم _ یازدهم _ دوازدهم)

ریاضیات دانشگاهی: معادلات دیفرانسیل - ریاضی عمومی ۱و۲ - آمار و احتمالات - ریاضی مهندسی
-----------------
*مرور نمونه سوالات امتحانی - رفع اشکال - بیان نکات مهم شب امتحان

رشته تجربی: ریاضی۱_ ریاضی۲ _ ریاضی۳

رشته ریاضی فیزیک: ریاضی۱ و هندسه۱ _ حسابان۱ و هندسه۲ _حسابان۲ و هندسه۳ _ ریاضیات گسسته

رشته ادبیات و علوم انسانی، علوم و معارف اسلامی: ریاضی و آمار۱ _ ریاضی و آمار۲ _ ریاضی و آمار۳
-----------------
*با دوستان و هم کلاسی های خود به صورت گروهی مراجعه نمایید تا از تخفیف ویژه بهره مند شوید.

ویژه کنکوری ها: مشاوره _ برنامه ریزی _ آموزش تست زنی _ رفع اشکال

برای افراد کم بضاعت بیشترین تخفیف ممکن در نظرگرفته خواهد شد.

مُنحنی‌های ریاضی- Mathematical curves

Mathematical-curves خَم یا منحنی یک مفهوم هندسی است. در ریاضیات، مفهوم منحنی (خم) برای نشان دادن یک شیء یک بعدی و پیوسته به کار می‌رود. یک مثال ساده دایره‌ است. در گفتگوی روزمره یک خط صاف، منحنی در نظر گرفته نمی‌شود ولی در مکالمه‌ی ریاضیاتی خط‌های مستقیم و پاره خط‌ها نیز خم‌اند. در هندسه منحنی‌های بسیاردیگری مطالعه می‌شوند. هم‌چنین، منحنی(خم) می‌تواند هم معنی با تابع ریاضی یا نمودار تابع باشد. بطور کلی، خم یا منحنی به دو گونه‌است: منحنی مسطح: خمی است که بر روی سطح دوبعدی (صفحه) قابل جایگیری است. منحنی کج: خمی فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد. منحنی مسطح بطور شهودی، خم مسطح به مجموعه‌ای از نقطه‌ها گفته می‌شود، به شرط آن‌که بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم. منحنی‌های مسطح به سه نوع زیر تقسیم می‌شوند: منحنی ساده: یک منحنی ساده، یک منحنی مسطح است که هیچ یک از نقطه های خود را قطع نکند. منحنی بسته: به خمی اطلاق می‌شود که نقطه‌های (انتهایی) آن به هم رسیده (و بر یکدیگر منطبق) باشند. منحنی ساده بسته: منحنی ای ساده بسته است که نقطه‌های ابتدا و انتهایی آن برهم منطبق باشند و نقطه‌های خود را قطع نکند. قضیه منحنی جُردن: هر منحنی سادهٔ بسته C، صفحه را به سه زیر مجموعهٔ جدا از هم درون، بیرون و روی منحنی تقسیم می‌کند. درتوپولوژی، منحنی را به صورت زیر تعریف می کنیم: فرض کنیم I بازه‌ای‌ست از اعداد حقیقی (یعنی یک زیر مجموعه همبند ناتهی از{\mathbb {R}}). آنگاه، خم \!\,\gamma یک نگاشت پیوسته \,\!\gamma :I\rightarrow X است که X یک فضای توپولوژیکی است. خم \!\,\gamma را ساده می‌گویند اگر که برای هر x،y در I داشته باشیم: \,\!\gamma (x)=\gamma (y)\rightarrow x=y در صورتی که، I بازه‌ای بسته و کراندار\,\![a,b] باشد، امکان\,\!\gamma (a)=\gamma (b) را هم مجاز در نظر می گیریم (این قرارداد امکان این را می‌دهد که راجع به خم سادهٔ بسته صحبت کنیم). چنانچه، به ازاء برخی x\neq y (غیر از دوسر I) داشته باشیم: \,\!\gamma (x)=\gamma (y) آنگاه به \,\!\gamma (x) یک نقطهٔ مضاعف (یا چندگانه)از خم گفته می‌شود. خم \!\,\gamma را بسته یا یک حلقه می‌گوییم اگر \,\!I=[a,b] و اگر \!\,\gamma (a)=\gamma (b). بنابراین یک خم بسته یک نگاشت پیوسته از دایره S^{1} است. یک خم ساده بسته همچنین یک خم ژوردان گفته می‌شود. یک خم صفحه‌ای خم‌ای است که برای آن X یک فضای اقلیدسی است—اینها مثال‌هایی هستند که ابتدا بیان شدند. یک خم فضایی خم‌ای است که برای آن X سه بعدی یا فضای اقلیدسی است. یک خم کج خم فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد. این تعاریف همچنین در مورد خم‌های جبری نیز صادقند. اما در مورد خم جبر معمول است که خم را به داشتن نقاط تعریف شده روی اعداد حقیقی محدود نکنیم. تفاوت بین یک منحنی و تصویرآن مهم است. دو منحنی متمایز ممکن است تصویر یکسان داشته باشند. به عنوان مثال یک پاره خط می‌تواند در سرعت‌های متفاوت پیموده شود، یا یک دایره می‌تواند به دفعات متفاوت پیموده شود. با این وجود خیلی اوقات ما فقط به تصویر منحنی علاقه‌مندیم. مهم است که هنگام مطالعه به زمینه و قرارداد توجه شود. اغلب توپولوژیست‌ها از اصطلاح «مسیر» به عنوان آنچه ما منحنی می‌نامیم و از «منحنی» به عنوان به عنوان آنچه ما تصویر می‌نامیم استفاده می‌کنند. درهندسه دیفرانسیل معمولا از اصطلاح «خم» استفاده می‌شود. تصویر یک تابع: اگر f یک نگاشت، تابع یا تبدیل از دامنهٔ D به هم دامنه‌یY باشد. آنگاه تصویر f که گاه به آن برد f نیز گفته می‌شود مجموعهٔ مقادیری است که f با تغییر ورودی‌اش روی مقادیر D به دست می‌دهد. اصطلاح تصویر تابع در متون آکادمیک نسبت به برد ارجحیت دارد. تصویر تابع می‌تواند برای زیرمجموعه‌هایی از دامنه نیز تعریف شود. [f[a,b بیانگر تصویر بازه‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ی [a,b] تحت تابع f است. تصویر یک تابع زیر مجموعه‌ای از هم دامنه‌ی آن است. در ابتدا سهمی ها را معرفی می‌کنیم. در متون علمی آمده است که: منایخموس ریاضیدان یونانی باستان سهمی را جهت حل مسئله تضعیف مکعب (ساختن مکعبی که حجم آن دو برابر حجم یک مکعب مفروض است فقط با استفاده از خطکش و پرگار)، مورد مطالعه قرار داد. اسحاق نیوتن در کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» نشان داد که اگر نیروی کشش میان اجسام آسمانی متناسب با معکوس مجذور فاصله بین آن دو باشد، اجرامی که به دور یک جرم بزرگ می‌گرداند، یا باید حرکت دایره‌ای، بیضوی، سهموی یا هذلولوی داشته باشند. نیوتن از سهمی برای محاسبه مدار شهاب سنگ‌ها استفاده کرد. امروزه می‌دانیم که اگر چه سهمی مدل خوبی برای حرکت شهاب سنگ‌ها می‌باشد ولی این مدل از دقت بالایی برخوردار نیست و به ندرت مدار شهاب سنگ‌ها با دقت بسیار بالایی سهموی می‌باشند. گالیله نشان داد که وقتی جسمی را در هوا پرتاب می‌کنیم، مسیر حرکت آن سهموی می‌باشد. این موضوع زمانی صحت دارد که از مقاومت هوا و آثار چرخشی چشم پوشی شود. نیوتن و گرگوری نشان دادند که هنگامی که نور به صورت موازی به یک آینه سهموی تابانده شود، پس از انعکاس در کانون آن جمع می‌شود. پاسکال سهمی را تصویر یک دایره در نظر گرفت. اقتصادی‌ترین شکل پل کمانی در اغلب شرایط عملی سهمی می‌باشد. منحنی سهمی – Partial curve زمانی که شما به یک توپ فوتبال ضربه می‌زنید (یا تیری را از کمان رها کرده یا سنگی را به سمت آسمان پرتاب می‌کنید) پرتابه با طی کردن یک کمان به سمت بالا رفته و سپس سقوط می‌کند. مسیر پیموده‌شده توسط پرتابه بخشی از یک منحنی سهمی می‌باشد.

تابع در ریاضیات – Function in mathematics

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است.

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس (Gottfried Wilhelm Leibniz) در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت دررابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به‌ وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط گوتفرید لایبنیتس تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه‌ی تابع بعدها توسط لئونارد اویلر(Leonhard Euler ) در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت مانند  f(x) = sin(x) + x³.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه ی مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس (Karl Weierstraß) بیشتر خواهان به‌ وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده ی تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه (Joseph Fourier) مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه‌ی توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه‌ی خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیرنیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ) و لوباچوسکی (به روسی: Никола́й Ива́нович Лобаче́вский ) هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع، حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه‌ی منحصربه‌فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در [منطق] است.

تابع در ریاضیات – Function in mathematics

تابع یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است.

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس (Gottfried Wilhelm Leibniz) در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت دررابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به‌ وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط گوتفرید لایبنیتس تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.

واژه‌ی تابع بعدها توسط لئونارد اویلر(Leonhard Euler ) در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت مانند  f(x) = sin(x) + x³.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه ی مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس (Karl Weierstraß) بیشتر خواهان به‌ وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده ی تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه (Joseph Fourier) مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه‌ی توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه‌ی خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیرنیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ) و لوباچوسکی (به روسی: Никола́й Ива́нович Лобаче́вский ) هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع، حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه‌ی منحصربه‌فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در [منطق] است.

تدریس خصوصی و گروهی ریاضیات از پایه تا کارشناسی

مدرس: کارشناس ارشد ریاضی و مدرس دانشگاه ، با بیش از 10 سال سابقه تدریس
سرکار خانم فرزامی :09178063900

#ریاضیات دانشگاهی: معادلات دیفرانسیل _ ریاضی عمومی ۱و۲ _ آمار و احتمالات _ ریاضی مهندسی

#ریاضیات متوسطه دوم: (دهم _ یازدهم _ دوازدهم)
#ریاضیات متوسطه اول:(هفتم _ هشتم _ نهم)
#ریاضیات پایه

#رشته تجربی: ریاضی۱_ ریاضی۲ _ ریاضی۳

#رشته ریاضی فیزیک: ریاضی۱ و هندسه۱ _ حسابان۱ و هندسه۲ _حسابان۲ و هندسه۳ _ ریاضیات گسسته

#رشته ادبیات و علوم انسانی، علوم و معارف اسلامی: ریاضی و آمار۱ _ ریاضی و آمار۲ _ ریاضی و آمار۳

ویژه کنکوری ها: مشاوره _ برنامه ریزی _ آموزش تست زنی _ رفع اشکال

برای افراد کم بضاعت بیشترین تخفیف ممکن در نظرگرفته خواهد شد.